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東奔西走、まさに西へ東へと「あちこち忙しく駆け回ること」ですね。

自分の感覚では１番近い表現でよく使うし耳にもするのが

busy oneself about [ with ]

です。この場合 busy は動詞として使われます。

The president is busy going here and there visiting people.
「社長は人を訪ねる東奔西走している。」

それから、be constantly on the move

He was busy on the move around the country.
「彼は国中を忙しく飛び回っていた（東奔西走してた）。」

どちらも「忙しい！」っていう感じがよく現れている表現ですね。